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交互式的身份验证

在中心准备签发智能卡时，会信选择出一个模数n和一个伪随机函数f，这个伪随机函数f可以将任意的字符串与[0,n)当中的一个数联系起来。n是两个秘密（只有中心知道）素数p和q的乘积。

当一个合法的用户希望申请一个智能卡时，中心会解析它的所有相关信息，包括名字、地址、ID、物理特征描述等，这些信息会被包括在一个字符串当中，同时有关卡片本身的一些信息也会被包含在其中（发行日期，有效性限制等）。这些信息一旦被确认发行之后就无法修改，所以保证它正确很有必要。 以下是中心对于字符串I的操作：

1. 计算v_j=f(I,j),j 是一些很小的数；
2. 选择k个不同的j，使得v_j是n的平方剩余，同时计算关于v_j^-1（mod n）的最小平方根s_j，其中v_j^-1应该是v_j关于n的欧拉函数的逆；
3. 发行这张新的智能卡，在这张智能卡中包括了字符串I，k个*s_j*和它们所对应的索引。

当用户使用智能卡时，验证者需要对该智能卡进行验证，通常在验证的机器中值保存着模数n和伪随机函数f。智能卡向验证者证明它知道*s₁，…,s_k*的值，同时不会泄露这些值给验证者。

证明协议包括以下协议步骤（其中A是证明者，B是验证者）：

1. A将I发送给B；

2. B计算v_j=f(I,j)，j=1,…,k;

   以下3-6步骤将重复t次，i=1,…,t:

3. A选择一个随机数r_i$\in$[0,n),计算x_i=r_i²(mod n)发送给B；

4. B选择一个随机向量（e_i1,…,e_ik）$\in${0,1}，发送给A；

5. A计算y_i，并发送给B；

6. B计算以下公式，如果成立，则证明A是合法的。
   

非交互式的签名方案

在交互式的签名方案中，B需要发送e_ij矩阵给A，A和B之间存在交互，下面将介绍一种非交互验证方案，使得两者之间不需要通过交互即可验证A的合法性。

在证明者这一端：

1. A选择随机的r₁,…,r_t$\in$[0,n),同时计算x_i=r_i²(mod n);
2. A计算 f(m,x₁,…,x_t),同时使用计算结果的钱kt位作为矩阵e_ij的值（1$\le$i$\le$t,1$\le$j$\le$k）;
3. A计算y_i，通是将I,m和e_ij矩阵发送给验证者B。

在验证者这一端，验证A在消息m上的签名是否合法：

1. B计算v_j=f(I,j),j=1,…,k;

2. B计算

   

3. B验证*f(m,z₁,…,z_t)的前kt位是否等于e_ij.如果成立证明A的签名合法。

关于Fait-Shamir安全性的思考

在交互式的身份验证方案中，随机矩阵e_ij是由验证者决定和发送的，而在非交互式的身份签名方案中，随机矩阵e_ij是由证明者通过随机函数计算结果所选择的，这个矩阵的随机性完全依赖于韩系函数f，一旦f被破解，也就会带来安全问题，证明者可以控制它的那几个值会被验证。

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